Fil narratif
Comment une gamme entière naît d’un seul geste sur une corde — prendre les 2/3 — et pourquoi le demi-ton n’est pas la moitié du ton. La présentation suit l’ordre historique : tout se fait en longueurs de corde, comme au monocorde. L’équivalent moderne en fréquences est donné en fin de fiche.
Le principe : équivalence d’octave et géographie de la corde
Deux sons distants d’une octave sont perçus comme « la même note » dans deux registres — la même classe de hauteur. Sur le monocorde, cela correspond à la moitié de la corde : un segment deux fois plus court que la corde entière sonne une octave plus haut.
Toutes les notes d’une octave se logent donc entre 1 (la corde entière) et 1/2 (sa moitié). C’est notre cadre de référence : un segment de corde, et tout ce qui suit consistera à y placer des notes.
Engendrer la gamme par les quintes
On part de la corde entière (Do, longueur 1) et on n’utilise qu’un seul geste : prendre les 2/3 de la corde. Le segment plus court ainsi obtenu sonne une quinte plus haut — le rapport de longueurs 3:2 (long sur court) définit la quinte. C’est notre Sol.
À partir de cette nouvelle longueur, on recommence : prendre les 2/3 de 2/3, soit 4/9. Cette valeur sonne une quinte au-dessus de Sol — c’est le Ré. Mais 4/9 ≈ 0,44 est inférieur à 1/2 : la note a quitté l’octave de référence vers le haut. On double la longueur (geste inverse, qui descend d’une octave) pour la ramener entre 1/2 et 1 : 4/9 × 2 = 8/9.
On itère. À chaque tour : prendre les 2/3 de la longueur précédente ; puis, si le résultat tombe sous 1/2, doubler autant de fois que nécessaire pour le ramener dans la fenêtre [1/2, 1].
| Étape | Note | À partir de | Calcul | Replié si nécessaire |
|---|---|---|---|---|
| 0 | Do | — | corde entière | 1 |
| 1 | Sol | Do (1) | × 2/3 = 2/3 | 2/3 |
| 2 | Ré | Sol (2/3) | × 2/3 = 4/9 < 1/2 → × 2 | 8/9 |
| 3 | La | Ré (8/9) | × 2/3 = 16/27 | 16/27 |
| 4 | Mi | La (16/27) | × 2/3 = 32/81 < 1/2 → × 2 | 64/81 |
| 5 | Si | Mi (64/81) | × 2/3 = 128/243 | 128/243 |
Cinq « prises de 2/3 » nous ont donné cinq notes nouvelles. Reste Fa — et là le geste s’inverse. Fa est une quinte au-dessous de Do : il faut donc rallonger la corde, multiplier sa longueur par 3/2 (la corde devient une fois et demie plus longue, donc plus grave). La valeur 3/2 sort de l’octave par le bas (elle dépasse 1) ; on la divise par 2 pour rentrer dans la fenêtre : 3/4.
Six quintes au total — la chaîne Fa – Do – Sol – Ré – La – Mi – Si — remises dans l’ordre des longueurs décroissantes (donc des hauteurs croissantes) donnent la gamme :
| Degré | Note | Longueur | Cents |
|---|---|---|---|
| I | Do | 1 | 0 |
| II | Ré | 8/9 | 204 |
| III | Mi | 64/81 | 408 |
| IV | Fa | 3/4 | 498 |
| V | Sol | 2/3 | 702 |
| VI | La | 16/27 | 906 |
| VII | Si | 128/243 | 1110 |
| VIII | Do’ | 1/2 | 1200 |
Une image qui vaut la peine
Toutes les notes d’une octave occupent la moitié d’une corde. La gamme entière est une géographie de marques entre 1 et 1/2 sur un segment unique.
Les pas de la gamme — T T S T T T S
En mesurant l’écart entre deux notes voisines (par le rapport long:court de leurs longueurs), on ne trouve que deux intervalles : le ton (rapport 9:8) et un demi-ton (rapport 256:243).
| Pas | Rapport long:court | Nature |
|---|---|---|
| Do→Ré | 9:8 | ton |
| Ré→Mi | 9:8 | ton |
| Mi→Fa | 256:243 | demi-ton |
| Fa→Sol | 9:8 | ton |
| Sol→La | 9:8 | ton |
| La→Si | 9:8 | ton |
| Si→Do | 256:243 | demi-ton |
Soit ton – ton – demi-ton – ton – ton – ton – demi-ton. C’est le profil de la gamme diatonique, obtenu sans rien décréter : il tombe des prises de 2/3 et des doublements.
Le tétracorde
Les Grecs ne pensaient pas la gamme d’un bloc mais par tétracordes : quatre notes couvrant une quarte (rapport de longueurs 4:3, soit prendre les 3/4 d’une corde), dont les notes extrêmes sont fixes et les deux intérieures mobiles — leur position définit le genre (diatonique, chromatique, enharmonique → voir Les modes grecs originels).
Le tétracorde diatonique vaut deux tons + un demi-ton, et le compte tombe juste : 9/8 × 9/8 × 256/243 = 4/3.
L’octave se lit alors comme deux tétracordes encadrant un ton de disjonction :
[ Do · Ré · Mi · Fa ] + Fa→Sol (ton) + [ Sol · La · Si · Do’ ]
soit (T T S) – T – (T T S). La gamme n’est pas une suite arbitraire de sept notes : c’est une structure symétrique, deux quartes articulées par un ton.
Ton et demi-ton : le demi-ton n’est pas la moitié du ton
Le ton vaut 9:8 (la quinte moins la quarte ; ou : prendre les 8/9 d’une corde donne le ton supérieur). Dans l’accordage pythagoricien, tous les tons sont égaux. Mais le demi-ton se dédouble en deux demi-tons inégaux :
- le limma (demi-ton diatonique) = 256:243 ≈ 90 cents — ce qui reste d’une quarte quand on lui ôte deux tons ;
- l’apotome (demi-ton chromatique) = 2187:2048 ≈ 114 cents — ce qui reste d’un ton quand on lui ôte un limma.
Donc :
ton = limma + apotome, et apotome − limma = comma pythagoricien
Le ton ne se coupe pas en deux moitiés égales : il se partage en un petit et un grand demi-ton, dont l’écart est précisément le comma rencontré dans ratios pythagoriciens.
Conséquence directe : le dièse n’égale pas le bémol voisin. Do♯, obtenu en raccourcissant Do d’un apotome (longueur 2048/2187 ≈ 0,937), est plus haut que Ré♭, obtenu en raccourcissant Do d’un limma (longueur 243/256 ≈ 0,949) — d’un comma exactement. Sur un clavier à hauteurs fixes, il faudra choisir, mentir un peu, ou tempérer. C’est ici que commence le problème que résoudra le tempérament.
Équivalent moderne en fréquences
Pour passer aux fréquences (langage moderne), il suffit de remplacer chaque longueur L par son inverse 1/L, puisque f ∝ 1/L. Chaque geste s’inverse :
- « prendre les 2/3 de la corde » devient « multiplier la fréquence par 3/2 » ;
- « doubler la longueur » devient « diviser la fréquence par 2 » ;
- la fenêtre [1/2, 1] devient l’octave [1, 2].
Les rapports d’intervalles (9:8 pour le ton, 256:243 pour le limma, et le comma) restent identiques dans les deux langages : ce sont des rapports entre deux hauteurs, que la physique conserve.
Liens
- Concept rattaché à 1 · Antiquité — la voix et le nombre
- Socle arithmétique : ratios pythagoriciens
- Cadre mélodique : Les modes grecs originels
- Suite du problème : tempérament