Fil : comment une gamme entière naît d’un seul intervalle, la quinte ; et pourquoi le demi-ton n’est pas la moitié d’un ton.
Le principe : l’équivalence d’octave
Deux sons distants d’une octave (rapport 2:1) sont perçus comme « le même son » à hauteur différente — la même classe de hauteur. C’est ce qui autorise le repliement : chaque fois qu’un calcul nous fait sortir de l’octave de référence, on multiplie ou divise par 2 pour y revenir, sans changer la note. C’est l’outil de base de toute la construction.
Engendrer la gamme par empilement de quintes
On part d’une note (Do = 1) et on ne se sert que de la quinte pure (3:2), repliée dans l’octave quand il le faut :
| Quinte | Note | Valeur brute | Replié dans l’octave |
|---|---|---|---|
| −1 | Fa | 2/3 | 4/3 |
| 0 | Do | 1 | 1/1 |
| +1 | Sol | 3/2 | 3/2 |
| +2 | Ré | 9/4 | 9/8 |
| +3 | La | 27/8 | 27/16 |
| +4 | Mi | 81/16 | 81/64 |
| +5 | Si | 243/32 | 243/128 |
Pourquoi ne pas raisonner en longueur de corde ?
La quinte correspond à ⅔ de la longueur de la corde, la quinte de la quinte correspond à ⅔ de la longueur de la corde qui donnait la première quinte, soit ⅔ x ⅔ = 4/9 de la longueur originelle, et ainsi de suite.
Six quintes enchaînées — Fa – Do – Sol – Ré – La – Mi – Si — suffisent à produire les sept notes. Remises dans l’ordre, elles donnent la gamme :
| Degré | Note | Rapport | ≈ cents |
|---|---|---|---|
| I | Do | 1/1 | 0 |
| II | Ré | 9/8 | 204 |
| III | Mi | 81/64 | 408 |
| IV | Fa | 4/3 | 498 |
| V | Sol | 3/2 | 702 |
| VI | La | 27/16 | 906 |
| VII | Si | 243/128 | 1110 |
| VIII | Do | 2/1 | 1200 |
Le résultat : T – T – S – T – T – T – S
En mesurant l’écart entre degrés voisins, on ne trouve que deux intervalles : le ton (9/8) et un demi-ton (256/243).
| Pas | Intervalle | Nature |
|---|---|---|
| Do→Ré | 9/8 | ton |
| Ré→Mi | 9/8 | ton |
| Mi→Fa | 256/243 | demi-ton |
| Fa→Sol | 9/8 | ton |
| Sol→La | 9/8 | ton |
| La→Si | 9/8 | ton |
| Si→Do | 256/243 | demi-ton |
Soit ton – ton – demi-ton – ton – ton – ton – demi-ton. C’est le profil de la gamme diatonique, obtenu sans rien décréter : il tombe de l’empilement des quintes.
Le tétracorde
Les Grecs ne pensaient pas la gamme d’un bloc mais par tétracordes : quatre notes couvrant une quarte (4/3), dont les deux notes extrêmes sont fixes et les deux intérieures mobiles — leur position définit le genre (diatonique, chromatique, enharmonique → voir Les modes grecs originels).
Le tétracorde diatonique vaut deux tons + un demi-ton, et c’est exactement une quarte :
9/8 × 9/8 × 256/243 = 4/3
L’octave se lit alors comme deux tétracordes encadrant un ton de disjonction :
[ Do · Ré · Mi · Fa ] + Fa→Sol (ton) + [ Sol · La · Si · Do ]
soit (T T S) – T – (T T S), qui redonne bien le profil complet. La gamme n’est pas une suite arbitraire de sept notes : c’est une structure symétrique, deux quartes articulées par un ton.
Ton et demi-ton : le demi-ton n’est pas la moitié du ton
Le point technique essentiel. Le ton vaut 9/8 (la quinte moins la quarte), et dans l’accordage pythagoricien tous les tons sont égaux. Mais le demi-ton se dédouble :
- le limma (demi-ton diatonique) = 256/243 ≈ 90 cents — ce qui reste d’une quarte quand on lui ôte deux tons ;
- l’apotome (demi-ton chromatique) = 2187/2048 ≈ 114 cents — ce qui reste d’un ton quand on lui ôte un limma.
Donc :
ton = limma + apotome, et apotome − limma = comma pythagoricien
Le ton ne se coupe pas en deux moitiés égales : il se partage en un petit et un grand demi-ton, dont l’écart est précisément le comma (≈ 24 cents) rencontré dans ratios pythagoriciens.
Conséquence directe et lourde de suites : le dièse n’égale pas le bémol voisin. Do♯ (un apotome au-dessus de Do, 114 c) est plus haut que Ré♭ (un limma au-dessus de Do, 90 c) — d’un comma exactement. Sur un clavier à hauteurs fixes, il faudra choisir, mentir un peu, ou tempérer. C’est ici que commence le problème que résoudra le tempérament.
Liens
- Concept rattaché à 1 · Antiquité — la voix et le nombre
- Socle arithmétique : ratios pythagoriciens
- Cadre mélodique : Les modes grecs originels
- Suite du problème : tempérament